天女之彩虹打一南京特产（大吉祥天女咒）

文 | W先森、难得君

“拉马努金是印度在过去一千年中最伟大的数学家。他的直觉的跳跃甚至令今天的数学家感到迷惑，在他死后70多年，他的论文中埋藏的秘密依然在被挖掘出来。他的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。”

—罗伯特·卡尼盖尔《知无涯者：拉马努金传》

“我一生中对数学最大的贡献，并非是我的研究成果，而是发现了拉马努金”

—戈弗雷·哈代（英国数学家）

01

印度之子

是的，今天我想说的就是天才数学家，与“圣雄”甘地、诗人泰戈尔齐名，被誉为“印度之子”的斯里尼瓦瑟·拉马努金（SRINIVASA RAMANUJAN）。

2000年《时代》周刊选出了100位20世纪最具影响力的人物，其中就有拉马努金，并称赞他是一千年来印度最伟大的数学家。

1887年，拉马努金出生于印度东南部泰米尔纳德邦的埃罗德，他是南亚民族之一的泰米尔人。拉马努金种姓本是婆罗门，属于贵族，不过家族没落了，极度穷困。

大部分出生在这样家庭的孩子，都会平淡无奇度过自己的一生，但偏偏命运女神挑中了这个男孩，让在他短暂一生中，绽放出如烟花般绚丽多彩的生命。

拉马努金在10岁进入贡伯戈讷姆一所中学读书。

中学时，他家住了两个房客，是公立大学的学生，与两个大学生的接触，使拉马努金第一次接触到数学，并表现出了超人的天赋。

经过1年时间的学习，他就已经掌握了大学高等数学的全部知识。面对拉马努金，两位大学生已经倾囊相授，无法传授他更多数学知识，于是给了拉马努金一本高等三角学的书。

在没有任何老师的指导下，拉马努金仅仅用了2年时间的自学，在他13岁时，不仅全部掌握了这本书的内容，而且还发现了更复杂的定理。

16岁时，拉马努金机缘巧合得到了一本书，如获至宝，这本书来自英国数学家卡尔的《纯数学和应用数学概要》。

这是一本难度非常大的书，因为书中所列出的多达5000个数学方程式（包含定理，公式，长式，内容涉及代数、三角学、微积分、解析几何和微分方程），却并未给出详细的证明。

这本书引起了拉马努金极大的兴趣，他开始潜心研究公式，依靠直觉，对数学公式进行不加证明的跨越式学习并推演，这也帮助他形成了日后直觉式的数学思维。

什么是直觉式的数学思维？

举个简单的例子，比如我们上初中学习几何，很多证明题，比如垂直、等分边角，其实凭直觉就能得出答案，但是做题和考试的时候，你必须按照步骤，通过冗长繁琐的计算，最后得出最开始的结论。那么，最开始你的判断，就是一种数学直觉思维。

拉马努金以优异的成绩毕业于贡伯戈纳姆高中，进入当地著名的贡伯戈纳姆学院。

拉马努金花了5年时间，把这本奇书《纯数学和应用数学概要》中每一个方程式当成一个课题，用自己的方式对其进证明，甚至对一些公式进行进一步的推演，从而发现了全新的数学公式。

这本书将拉马努金带进了全新的数学世界，他忘我的把所有的精力都投入到了数学的研究之中。

但是这造成了一个严重的后果：偏科。他的英语和文科严重不及格，不但失去了奖学金，还被管理极其严格的大学开除。

1905年，18岁的他为此离家出走3个月。一年后，拉马努金被马德拉斯的帕凯亚帕学院录取，但这个数学成绩优异的学生，还是难以逃脱被开除的命运，他的5门文科课程两次不及格。

因为没有取得大学文凭，拉马努金找不到工作，陷入极度穷困，经常连饭都吃不上，身体也越来越差。

为了维持生计，他只能给即将考大学的学生补习功课，同时从图书馆借来数学书，然后把自己的研究结论写在笔记本里。

根据印度的习俗（泰米尔族的婚姻通常都是经由长辈安排，女生由姐姐，男生由兄长，女生通常于其月经初来时结婚，男性则会在二十岁之后结婚），拉马努金家人在他22岁为他安排了婚事，妻子名叫佳娜琪，年龄仅有9岁，这在当时的印度是相当普遍的现象。

拉马努金是家中长子，成家之后，就必须为一家人的生计而奔波，努力寻找工作。

真正改变拉马努金人生轨迹的是拉马斯瓦米.艾耶尔（RAMASWAMI AIYER），他是印度数学协会的的创始人。

当拉马努金向他展示了平时研究数学的笔记本后，艾耶尔看完大为震惊，把他推荐给了自己在马德拉斯的一位数学家朋友拉奥(R. Rao)。

这位数学家看到笔记后，首先怀疑这些研究成果是否出自一位年轻人，因为里面有很多数学公式他都没见过，但证明一下又感觉都对。

他认为拉马努金只适合搞数学而不适合做其他工作，因此宁愿每个月给他一些钱，让他港务信托处挂名不上班，在家专心从事数学研究。

这样拉马努金终于第一次可以不用饿着肚子研究数学了，拉马努金开始全身心投入到数学研究之中。

02

天才？

请你看看我的臂肘吧

一位老朋友探望他时说道：“人们都称赞你是数学的天才！”

拉马努金听了后笑道：“天才？请你看看我的臂肘吧！”

他的臂肘的皮肤显得又黑又厚。他解释道，他日夜在石板上计算，用破布来擦掉石板上的字太花时间了，每几分钟他就用肘直接擦石板的字。

朋友问他：“既然要做这么多计算为什么不用纸来写？”

拉马努金无奈的说，他连吃饭都成问题，哪里有钱去买纸来算题呢！

原来拉马努金觉得依靠别人生活心里很是惭愧，已经有一个月不去拿钱了。

时间长了，以至于他的胳膊肘上长了厚厚的茧！

经过长期不懈的努力，拉马努金于1911年在当时著名的《印度数学学会杂志》上发表了自己的第一篇论文《一个公式求解，也就是根号下的无限序列》。

这个公式就是后来著名的拉马努金恒等式。

从这篇文章开始，他算正式进入了数学界。从1911到1919年，8年的时间里，拉马努金向《印度数学学会杂志》提交了共58篇文章。

拉马努金的研究成果，得到了印度数学界的高度认可。但是当时印度数学整体水平不高，于是很多数学家建议他应该进入更高的研究领域。

于是拉马努金把自己研究出来的大量数学公式寄给了英国剑桥大学的几位著名数学家：贝克（H. F. Baker）、霍布森（E. W. HOBSON）、哈代（G. H. Hardy）。

但是只有戈弗雷·哈代（GODFREY Harold Hardy）认真看了这个来自印度南部年轻人的信。

作为三一学院的院士，哈代被这个未受过专业训练、天才般的年轻人所震惊，说：“只要看它们（公式）一眼就知道只有一流的数学家才能写下它们。它们肯定是真的，因为如果不是的话，没人能有足够的想像力来发明他们。”

哈代回信让拉马努金来到英国剑桥三一学院和他一起从事数学研究（其实拉马努金为了能够继续学习数学，做出了极大的思想斗争和牺牲，由于宗教和文化差异，婆罗门和遵守教规的印度教徒是不能漂洋过海的）。

接下来的这段时间便开创了一段数学史乃至科学史上的传奇故事。

“拉马努金因哈代而崭露头角，哈代因拉马努金而增光溢彩”。

这段美好的时光也被哈代称为“我人生中最浪漫的意外”。

伯乐--戈弗雷·哈代（GODFREY Harold Hardy）

戈弗雷·哈代（1877年－1947年），出生于英格兰萨里郡，毕业于剑桥大学三一学院，后又在剑桥大学、牛津大学任教并成为英国皇家学会成员。

他有着英国数学家的严谨更有着一颗包容万象的心。他长期担任牛津大学和剑桥大学的数学教授职位，与挚友英国数学家利特尔伍德进行了长达35年的合作，发表了上百篇论文。

他在1940年发表了数学之美的随笔《一个数学家的辩白》，书中囊括了他对纯数学和数学应用的看法，被认为是写给外行人的著作中最好的书。

从1914年开始，哈代成为拉马努金的导师，开始了这段“人生中的浪漫的意外”

03

娜玛卡尔女神

娜玛卡尔女神，又称吉祥天女（音为拉克什米或乐湿弥（LAKSMI）），是婆罗门教、印度教的幸福与财富女神，传统上被认为是毗湿奴的妻子。印度查谟和克什米尔邦的主要城市斯利那加拉，意为“吉祥天城”。

吉祥天女也被佛教引为护法神，《金光明经》中有“大吉祥天女咒”（善女天咒），佛教《大吉祥天女十二名号经》，这也是佛教徒日课中，时常念诵的“十小咒”之一。

哈代不止一次的问拉马努金：“你是如何写出这些公式的？”

因为显然这些公式不是可以通过常规推导出来的，拉马努金说，他经常在梦中得到印度女神娜玛卡尔的启示，早晨醒来就能凭直觉写下不少数学公式和命题。

拉马努金常说在他做梦的时候，思路无比的清晰，他可以接收到巨大的信息量，在一个特别的梦里：他看到了一面巨大的红墙，然后上面出现了一只手，写下了一个又一个数学公式，他记住了那些公式，然后等他醒来时，就立刻用笔记本记录下来。

他经常说：“一个方程对我没有意义，除非它代表了神的一个想法。”

实际上拉马努金所写的大部分公式，直到现在都是最前沿的。

拉马努金没有受过正统专业的数学教育，他初到剑桥，对哈代超出数学范围的谈话几乎不懂。

他听哈代说话时总带着耐心的微笑，面容友善、真诚。由于两人受教育程度不同，用词及表述也就有差异，即使是谈论数学，沟通也相当困难。

拉马努金属于自学成才，他对现代学术意义上的严谨一无所知，在某种程度上，他甚至不知道什么叫证明。

于是哈代就向他演示如何写出严谨的数学证明。

哈代花了很多心血教授拉马努金现代数学知识，他发现拉马努金知识的局限竟然与它的深奥同样令人吃惊。

他们跨越了种族，文化（拉马努金是个虔诚的婆罗门教徒，哈代则是个无神论者）和国界的限制，拉马努金在哈代的帮助下，从一个狂热的业余爱好者变成了可以写出世界级数学论文的专家。

分拆数的渐进式

5年的时间里，他们的合作推动了数学史跨越式的进步，他们共同发表了28篇重要论文。

其中一篇更是震惊了整个数学界，这篇论文为困扰了数学家几个世纪的整数分拆，提供了一种可靠的计算方法（分拆数公式）。

正是凭借这篇论文，1918年拉马努金被提名为皇家学会会员（英国数学界的最高荣誉），他是亚洲第一位被提名的外籍会员，也是有史以来最年轻的会员（30岁），还担任了剑桥大学三一学院的院士（剑桥大学中规模、财力、名声最大的学院），三十岁便已享誉国际，拉马努金走到了他荣誉的巅峰。

04

积年累月、废寝忘食的投身到数学研究中，拉马努金疾病缠身，最终病倒了。

拉马努金在剑桥就读的时间恰恰是第一次世界大战(1914年—1918年)期间，英国作为参战国，在这场战争中，剑桥大学的学生两千多人阵亡。在此期间就读，无疑会受到巨大影响。

尽管拉马努金此时已经成年，但在心理上始终是一个未成年人，在与哈代合作的同时，他也沉溺于乡愁之中。

而且，作为一名虔诚的印度教教徒及婆罗门种姓人，他谨守教规，绝不食用剑桥大学食堂里含荤油的食物，只在宿舍里自己做饭吃。

拉马努金喜欢把蔬菜罐头直接放在煤气上加热后食用

战争期间食物短缺，拉马努金又不去食堂，因此经常吃不饱，导致严重的营养不良，再加上伦敦的严寒潮湿，终于，在来到英国的第四年春天，拉马努金病倒了。

而哈代是一位无神论者，拉马努金则是虔诚的印度教徒，两人除了在学术上有深入交流外，在日常生活中两人的交集并不多。

哈代堪称拉马努金学术上的良师，但并非他“生活中的朋友”。

拉马努金倒下了，由于战争的原因，医疗条件简陋，最先医院认为他得了胃溃疡，后来又认为是血液中毒（铅中毒），最后才确诊他是肺结核。

在肺结核晚期的折磨中，拉马努金痛不欲生，但是丝毫不影响他大脑的继续运转，反而更加高速有效。

也许上天留给他的时间不多了，拉马努金如醍醐灌顶，那些跳脱的数字，不断地在进行着排列组合，每一秒都会有新的公式跳出，都有可能改写数学史。

的士数（哈代-拉马努金数）

有一天哈代去医院探望拉马努金，当他走进拉马努金住院的病房时，随口说出所乘坐出的租车牌号“1729”，他说这是一个无聊乏味的数字，并希望这不是什么坏兆头。

而拉马努金的第一反应却是：“哈代你错了，这是个有趣的数字，因为这个整数可以写成12的立方与1的立方之和，也可以写成10的立方与9的立方之和，它是能用两种不同方式表示为两个正立方数之和的最小的数。”

数学家李特尔伍德听说这件事后，感叹道：“每个整数都是拉马努金的朋友。”

1919年3月，一战结束，思乡心切的拉马努金终于返回了印度。

当拉马努金最早的资助者、数学家拉奥前往火车站迎接时，他看到的是一个消瘦憔悴满脸病态的人，“我看到结局了”，他后来回忆说。

当地的名流排着队去拜见这位天才，富人们争先恐后地要为他支付医疗和其他费用，或者把自己的房子让给他住。

因为，印度历史上没有任何人能达到他在世界科学界的地位和名望。

可是，拉马努金已经没有时间去享受这些荣誉了。

去世前的一段时间，拉马努金陷入了疯狂状态，几乎所有的事情他都会联想到数学上面。

05

在梦中，女神娜玛卡尔给了他最后的启示：模θ函数。

当拉马努金写出这个公式时，即使全世界最顶尖的数学家也看不懂。

直到，一个世纪后的2012年，这个公式才被破解。

数学家发现它可以用来解释黑洞的的部分奥秘，而令人吃惊的是，当拉马努金首次提出这种函数的时候，人们还不知道黑洞是什么！

拉马努金猜测：

在输入特殊值时，也许能这样描述模θ函数，它和模形式毫不相像，但特性类似，这种特殊值称为奇点。

拉马努金相信对于每一个这样的函数，存在一个模θ函数，使得不仅奇点相同，奇点的函数值也以几乎同样的速率趋近于无穷。

而黑洞的中心其实就是一个奇点，在这个奇点上，时空曲率和物质密度都趋于无穷大，时空达到尽头，引力弯曲成了一个陷阱，变成了一个无限吞灭物质的无底洞。

1920年4月，拉马努金去世，年仅32岁。

哈代得知消息后大受打击，因为拉马努金去世前两个月，还以愉悦的语气写信给他，报告他新的研究成果。

哈代深感悲伤与遗憾的说：“我们都是在学习数学，而拉马努金是在发现并创造数学。”

哈代在自己设计的一种关于数学天才的非正式评分表中，给自己评了25分，给另一位杰出的数学家李特尔伍德评了30分，给他同时代最伟大的数学家希尔伯特（D. Hilbert）评了80分，而他给拉马努金评了100分。

他认为拉马努金的才华与“数学之神”欧拉（L. Euler）相当。

拉马努金与“数学之神”欧拉

06

神奇的笔记本

拉马努金去世后，留下了3本厚厚的笔记本，里面记录了超过3000多条未经证明的数学公式和定理。

这些公式全部都是他凭直觉写出的，其中，有许多已经被科学家证实。

如，比利时数学家德利涅（V. DELIGNE），1973年证明了拉马努金1916年提出的一个猜想，并因此获得了1978年的菲尔兹奖（数学界的诺贝尔奖）。

拉马努金是人类过去一千年里，诞生的最伟大的数学家。

他的数学直觉究竟从何而来？

直到今天，数学家都感到迷惑。

在他死后近100年时间里，他的笔记本中记录的公式定理不断被验证。

除了在数学领域外，很多公式、定理在粒子物理、统计力学、计算机科学、密码技术、空间技术等不同领域发挥着重要作用。

The Man Who Knew Infinity

知无涯者

《庄子·养生主》中曾写道：吾生也有涯，而知也无涯。（个人生命是有限的，但知识却是没有边界的。）

2015年上映的电影《The Man Who Knew Infinity》的中文译名《知无涯者》正是出自于此，这部电影讲述了印度数学天才斯里尼瓦瑟·拉马努金传奇的一生。

拉马努金一生坚信：娜玛卡尔女神在梦中给予他灵感。

很多科学家认为，做梦可能是人的意识进入到了四维空间。也许，在梦中，拉马努金洞察了宇宙的真相！